{"id":9185,"date":"2023-07-03T12:39:00","date_gmt":"2023-07-03T10:39:00","guid":{"rendered":"https:\/\/gilbertbrands.de\/blog\/?p=9185"},"modified":"2023-07-03T10:33:55","modified_gmt":"2023-07-03T08:33:55","slug":"warum-berechnungen-falsch-sein-koennen-1","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/gilbertbrands.de\/blog\/2023\/07\/03\/warum-berechnungen-falsch-sein-koennen-1\/","title":{"rendered":"Warum Berechnungen falsch sein k\u00f6nnen (1)"},"content":{"rendered":"\n

Insbesondere beim Klimaunfug vertraut man „der Wissenschaft“, genauer: irgendwelchen Rechenmodellen, die irgendeinen Horror ausrechnen und im Gegenzug ein Paradies voraussagen, sofern man bereit ist, 90% seines Einkommens in irgendetwas zu investieren, das sich mit Sicherheit als pers\u00f6nlicher Horror erweist und obendrein nicht funktioniert. Komischerweise wird den Berechnungen, die das Nichtfunktionieren nachweisen und im Gegensatz zu den anderen Modellen meist nur Dreisatz und Prozentrechnung ben\u00f6tigen, wieder nicht vertraut.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n

Dabei ist angesagt, den Modellen gegen\u00fcber eher misstrauisch zu sein. In dieser „Wissenschaft“ stecken n\u00e4mlich mindestens 3 Ursachen daf\u00fcr, dass bei den ganzen Rechnereien ziemlicher Unfug heraus kommt:<\/p>\n\n\n\n

  1. Ein Modell, in dem das gew\u00fcnschte Ergebnis bereits vorgefertigt eingebaut ist,<\/li>
  2. eine dilettantische Umsetzung, die zu nicht mehr durchschaubaren Code und damit automatisch zu mehr Fehlern als korrekten Daten f\u00fchrt und<\/li>
  3. durch die Rechenleistung des Computers selbst, der zu v\u00f6llig unsinnigen Ergebnissen f\u00fchrt, wenn der Programmierer keine Ahnung von numerischer Mathematik hat.<\/li><\/ol>\n\n\n\n

    Zwar vermutlich vergebene Liebesm\u00fch, aber ich versuche trotzdem einmal, die Ursachen ein wenig zu beleuchten. Dabei geht es nicht konkret um (oder gegen) die Modelle, sondern um die Grundlagen, auf denen diese Modelle basieren. Wenn nicht mehr kritiklos alles geglaubt wird, sondern ein Bewusstsein entsteht, dass man auch Fragen stellen kann, ist schon einmal ein Anfang gemacht.<\/p>\n\n\n\n

    Wir schauen uns heute einmal 3. an. Computer berechnen alles mit den 4 Grundrechenarten Addition (+), Subtraktion (-), Multiplikation (*) und Division (\/) aus. Das gilt auch f\u00fcr komplexe mathematische Funktionen oder das L\u00f6sen irgendwelcher Gleichungssysteme oder Differentialgleichungen oder Integrale oder sonst was, also alles Zeug, von dem viele keine Ahnung haben, von dem sie aber so \u00fcberzeugt sind, dass sie sich auf die Stra\u00dfe kleben. <\/p>\n\n\n\n

    Die meisten Berechnungen basieren darauf, dass ein Wert berechnet wird und dieser wieder als Ausgangspunkt f\u00fcr den n\u00e4chsten Rechenschritt dient. Beispielsweise berechnet die folgende Formel aus dem Wert n<\/em>, beispielsweise 15, den Wert 2n<\/em>, also 30. Weitere Formeln solcher Art dienen dann dazu, die Werte 1, 2, 3, … 14, 16, .. 29 zu berechnen und das das Endergebnis liegt bei beispielsweise n<\/em>=1.500 vor.<\/p>\n\n\n\n

    \"\"<\/figure>\n\n\n\n

    Wenn sich nun bei n<\/em>=15 ein Fehler eingeschlichen hat, wird dieser dazu f\u00fchren, dass auch n<\/em>=30 fehlerhaft ist und letztlich auch das Endergebnis unbrauchbar wird. Also gilt es, das zu vermeiden. Wobei der Computer die Fehler auch von alleine machen kann und keine Hilfe dazu ben\u00f6tigt, wie wir sehen werden.<\/p>\n\n\n\n

    Solche Formeln sind zwar auch mit einiger M\u00fche direkt mit einem Taschenrechner auswertbar, aber im Computer wird letztlich alles durch Operationen wie<\/p>\n\n\n\n

    \"\"<\/figure>\n\n\n\n

    ausgerechnet, wobei die Zahlen rechts vom Gleichheitszeichen dem Computer bekannt sind und der eben die Zahl links neu ausrechnet. Auch die Wurzelformel wird intern durch solche Operationen abgebildet, wobei einfachere Sachen durch Hardware oder Standardsoftware abgebildet werden, komplexere aber vom Programmierer kodiert werden m\u00fcssen. <\/p>\n\n\n\n

    In der Formel steht zwar \u00fcberall + , aber wenn ein Produkt positiv, das n\u00e4chste negativ ist, l\u00e4uft das auf eine Subtraktion hinaus, wie hoffentlich jeder versteht. <\/p>\n\n\n\n

    Was kann dabei schief gehen? Nun, zun\u00e4chst sind die Zahlen nicht ganz genau, weil der Computer beispielsweise Br\u00fcche nur als Dezimalzahlen speichern kann. Dazu wird auf den n\u00e4chsten darstellbaren Wert gerundet.<\/p>\n\n\n\n

    \"\"<\/figure>\n\n\n\n

    Ist x der exakte Wert, speichert der Computer den Wert y<\/p>\n\n\n\n

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    wobei das delta der Fehler bei der Speicherung ist (hier 0,00003333…), der positiv oder negativ sein kann (wir wissen es nicht, d.h. bei 1\/3 schon, aber im Allgemeinen eben nicht). Der Wert 0,3333 ist also nur bis auf den maximalen Rundungsfehler 0,3333 +- 0,00005 genau. Auch f\u00fcr Messwerte, die vom Programm verarbeitet werden, gilt das, denn die Messgenauigkeit, beispielsweise f\u00fcr die Temperatur, ist ebenfalls begrenzt.<\/p>\n\n\n\n

    Die Fehler gehen nat\u00fcrlich auch in die Rechnungen ein. Bei einer echten Addition wird daraus<\/p>\n\n\n\n

    \"\"<\/figure>\n\n\n\n

    Wenn die deltas gleich gro\u00df sind, ist der maximale Ergebnisfehler doppelt so gro\u00df wie die Eingangsfehler. W\u00fcrden wir die N\u00e4herung f\u00fcr den Bruch 1\/3 zu sich selbst addieren, w\u00e4re das Ergebnis <\/p>\n\n\n\n

    0,3333 + 0,3333 = 0,6666<\/p>\n\n\n\n

    Bei exaktem Rechnen k\u00e4me allerdings etwas anderes heraus:<\/p>\n\n\n\n

    1\/3 + 1\/3 = 2\/2 = 0,6667<\/p>\n\n\n\n

    Weil die Rundung nun nach oben laufen m\u00fcsste. Das Ergebnis auf dem Computer ist also nicht korrekt, wobei normalerweise mit 15 Stellen hinter dem Komma gerechnet wird, d.h. die Abweichungen tun nicht wirklich weh. Da in l\u00e4ngeren Rechnungen aber Fehler positiv oder negativ sein k\u00f6nnen, mittelt sich vieles auf Dauer auch wieder heraus, so lange die deltas klein und untereinander vergeichbar sind, d.h. bei der Addition kommt es normalerweise nicht zu (gr\u00f6\u00dferen) Fehlern.<\/p>\n\n\n\n

    Bei der Plutimikation<\/s> Multiplikation sieht das so aus:<\/p>\n\n\n\n

    \"\"<\/figure>\n\n\n\n

    Den letzten Term kann man vergessen, da das Produkt aus zwei kleinen Gr\u00f6\u00dfen keine Rolle spielt, da es noch kleiner ist. Formen wir den Rest etwas um, ist das Verh\u00e4ltnis zwischen berechnetem und exaktem Wert<\/p>\n\n\n\n

    \"\"<\/figure>\n\n\n\n

    So lange die deltas klein im Verh\u00e4ltnis zu den Zahlen selbst und untereinander vergleichbar sind, weicht das Verh\u00e4ltnis nicht merklich vom Wert 1 ab und wir kommen zu dem gleichen Schluss wie bei der Addition: der Gesamtfehler bleibt klein und macht keine Probleme.<\/p>\n\n\n\n

    Genauso bleibt es bei der Division. Die l\u00e4sst sich auf die Multiplikation zur\u00fcckf\u00fchren, indem man den Bruch mit dem Faktor 1 in einer speziellen Form erweitert:<\/p>\n\n\n\n

    \"\"<\/figure>\n\n\n\n

    Ob + oder – bei den deltas spielt keine Rolle, da wir den Fehler ohnehin nicht kennen, also k\u00f6nnen wir wahlweise + oder – setzen. Im Nenner steht nichts Aufregendes, im Z\u00e4hler eine normale Multiplikation.<\/p>\n\n\n\n

    Bei der letzten Operation, der Subtraktion, sieht es vordergr\u00fcndig auch unkritisch aus. Wenn wir uns um das Vorzeichen der deltas wieder nicht k\u00fcmmern, gelangen wir zu<\/p>\n\n\n\n

    \"\"<\/figure>\n\n\n\n

    und das Verh\u00e4ltnis der berechneten zu den korrekten Werten wird zu<\/p>\n\n\n\n

    \"\"<\/figure>\n\n\n\n

    Wenn die deltas klein sind und sich die Werte stark unterscheiden, also doe Differenz auch gro\u00df bleibt, ist das Verh\u00e4ltnis wieder in der N\u00e4he von 1 und alles ist im gr\u00fcnen Bereich. Ein Problem entsteht allerdings, wenn die Differenz der Werte sehr klein wird. Machen wir uns das an einem Zahlenbeispiel klar.<\/p>\n\n\n\n

    Wie wir oben gesehen haben, m\u00fcssen wir bei den deltas davon ausgehen, dass sie mindestens dem Rundungsfehler entsprechen. Nehmen wir einmal an, dass noch nichts Schlimmes passiert ist, w\u00e4re das f\u00fcr unser 1\/3-Beispiel im schlimmsten Fall (beide deltas haben das gleiche Vorzeichen und sind gleich gro\u00df)<\/p>\n\n\n\n

    \"\"<\/figure>\n\n\n\n

    Nehmen wir weiter an, bei einer exakten Rechnung betrage die Differenz<\/p>\n\n\n\n

    \"\"<\/figure>\n\n\n\n

    Dann folgt daraus<\/p>\n\n\n\n

    \"\"<\/figure>\n\n\n\n

    Um das zu verstehen, muss man ber\u00fccksichtigen, dass ein Computer immer mit der maximal zur Verf\u00fcgung stehenden Stellenanzahl rechnet und dazu alle vorderen Nullen ausblendet. Die Potenz gibt an, wie viele Nullen ausgeblendet werden. In unserem Beispiel kodiert der Rechner folglich<\/p>\n\n\n\n

    1\/3 = 0,3333 = 3,333 * 10\u207b\u00b9<\/p>\n\n\n\n

    Bekommt er bei einer Subtraktion f\u00fchrend Nullen heraus, macht er das nat\u00fcrlich auch, d.h.<\/p>\n\n\n\n

    y = 0,001 * 10 \u207b\u00b9 = 1,000 * 10\u207b\u2074<\/p>\n\n\n\n

    und da er nicht mit Zehnerpotenzen rechnet, sondern mit 2er-Potenzen, k\u00f6nnen dann nach Umrechnung in das Dezimalsystem tats\u00e4chlich so merkw\u00fcrdig Zahlen herauskommen wie oben angegeben. Das fatale an der Sache: man sieht es der Zahl gar nicht an, dass von den 5 Stellen vielleicht nur die erste korrekt ist, sich die anderen 4 Stellen der Computer aufgrund von Rechenfehlern mehr oder weniger selbst ausgedacht hat. Es kann sogar noch Schlimmer kommen:<\/p>\n\n\n\n

    \"\"<\/figure>\n\n\n\n

    Hier ist der berechnete Wert nicht nur v\u00f6llig falsch, er hat obendrein auch noch das falsche Vorzeichen.<\/p>\n\n\n\n

    Wird jetzt mit solchen Werten, bei denen das delta in der gleichen Gr\u00f6\u00dfenordnung wie die Zahl selbst liegt (oder dar\u00fcber) und das Vorzeichen ebenfalls nicht mehr stimmt, weiter gerechnet, kommt nat\u00fcrlich auch bei der Addition, der Multiplikation oder der Division nur noch Schrott heraus. In einer Beispielrechnung f\u00fcr den Wert von PI sieht das beispielsweise so aus:<\/p>\n\n\n\n

    \"\"<\/figure>\n\n\n\n

    Nachdem alles anf\u00e4nglich in die richtige Richtung l\u00e4uft, \u00e4ndert sich das schnell und zum Schluss kommt der Wert NULL f\u00fcr PI heraus. Alle Formeln dabei sind korrekt, aber der Rechner macht eben Fehler, wenn er bei der Subtraktion gleich gro\u00dfe Werte voneinander subtrahiert.<\/p>\n\n\n\n

    Die Berechnung von PI ist nat\u00fcrlich aufw\u00e4ndig, aber selbst bei einfachen Sachen kann das schief gehen. Es lassen sich Beispiele mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten konstruieren (dabei werden aus 6 Ausgangswerte die zwei Unbekannten berechnet; das ist hoffentlich noch banaler Schulstoff), bei denen im Ergebnis nicht eine einzige Ziffer korrekt ist, obwohl der Computer mit 16 Stellen Genauigkeit rechnet. <\/p>\n\n\n\n

    Bei der Programmierung muss man auf so etwas achten. Man muss die Formeln so umbauen, das Subtraktionen vermieden werden, oder mit anderen Methoden arbeiten, die Korrekturen oder das Erkennen von Fehlern erlauben, so dass man die Rechnung anhalten kann, wenn alles aus dem Ruder l\u00e4uft. Beispielsweise kann man die verwendeten Formeln im letzten Beispiel so umbauen, dass das richtige Ergebnis heraus kommt:<\/p>\n\n\n\n

    \"\"<\/figure>\n\n\n\n

    Bei vielen verschiedenen Formeln und sehr komplexen Programmen ist das nat\u00fcrlich nicht so einfach. Da verliert der Programmierer schon mal die \u00dcbersicht – falls er \u00fcberhaupt von dieser Problematik wei\u00df. Sehr viele d\u00fcrften bereits \u00fcberfordert sein, wenn es um das Erkennen solcher Ausrei\u00dfer geht, ganz zu schweigen von den mathematischen Tricks, mit denen man das abstellt. Hier ein Beispiel:<\/p>\n\n\n\n

    Eschenbach-Climate-Models<\/a>Herunterladen<\/a><\/div>\n\n\n\n

    Wie der Autor darlegt, hat man, statt sich um die Modellerierung und die Mathematik zu k\u00fcmmern, sich kurzerhand darauf beschr\u00e4nkt, irgendwann unsinnige Ergebnisse zu erkennen und von Hand zu korrigieren. Dabei k\u00f6nnen allerdings schon etliche Rechenschritte mit kaputten Werten durchgef\u00fchrt worden sein, die zu v\u00f6lligem Unsinn an anderer Stelle f\u00fchren, der aber gar nicht erkannt werden kann. <\/p>\n\n\n\n

    Wie kann man diese Kenntnisse praktisch nutzen? Wenn jemand ein Rechenmodell vorstellt (beispielsweise ein Klimamodell), kann man ihn ja mal fragen, mit welchen mathematischen Methoden er das angegangen ist. Meist kommt die Ausrede „das verstehst du nicht“, aber ein paar Formeln wird er sicher irgendwann rausr\u00fccken und auch \u00fcber Iteration (oder Rekursion) ein Wort verlieren. Die Fangfrage lautet „und wie hast du die Iteration numerisch stabilisiert?<\/strong>„. Kommt jetzt ein ratloser Blick … <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Insbesondere beim Klimaunfug vertraut man „der Wissenschaft“, genauer: irgendwelchen Rechenmodellen, die irgendeinen Horror ausrechnen und im Gegenzug ein Paradies voraussagen, sofern man bereit ist, 90% seines Einkommens in irgendetwas zu investieren, das sich mit Sicherheit als pers\u00f6nlicher Horror erweist und obendrein nicht funktioniert. Komischerweise wird den Berechnungen, die das Nichtfunktionieren nachweisen und im Gegensatz zu … Warum Berechnungen falsch sein k\u00f6nnen (1)<\/span> weiterlesen →<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-9185","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-allgemein"],"post_mailing_queue_ids":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/gilbertbrands.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/9185","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/gilbertbrands.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/gilbertbrands.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/gilbertbrands.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/gilbertbrands.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=9185"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/gilbertbrands.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/9185\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":9213,"href":"https:\/\/gilbertbrands.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/9185\/revisions\/9213"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/gilbertbrands.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=9185"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/gilbertbrands.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=9185"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/gilbertbrands.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=9185"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}